ITALIANO

- Numeri complessi
- Vettori numerici e matrici su un campo K.
- Sistemi di equazioni lineari.
- Spazi vettoriali su un campo K.
- Applicazioni lineari
- Diagonalizzazione
-Spazi vettoriali euclidei, diagonalizzazione ortogonale
- Elementi di Geometria Analitica nel piano euclideo E2 e nello spazio euclideo E3.

[A] T. M. Apostol, Calcolo – volume secondo, Geometria, Bollati Boringhieri
[CGG] M.R. Casali, C: Gagliardi, L. Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna
[Me1] N. Melone, Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare. Cuen ed.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
Il corso intende fornire una buona conoscenza dei metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in dimensione 2 e in dimensione 3. Inoltre ha tra i suoi obiettivi lo sviluppo del linguaggio matematico astratto, lo sviluppo delle capacità logiche-deduttive e l’apprendimento di tecniche dimostrative e di calcolo.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Al termine del percorso formativo lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali dell’algebra lineare e della geometria analitica; dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso i contenuti dell’insegnamento; dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi standard di algebra lineare e geometria analitica; sarà in grado di applicare le conoscenze apprese alla risoluzione di esercizi o problemi che richiedono una piccola rielaborazione delle tecniche dimostrative e di calcolo già acquisite.

In relazione alla abilità comunicative, il corso si propone l'obiettivo di sviluppare le abilità comunicative e argomentative dello studente, affinché possa esporre in modo chiaro e rigoroso concetti e leggi della Geometria classica.

Nessuno

48 ore di lezione, 24 ore di esercitazioni numeriche in aula

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

Al termine del corso lo studente dovrà superare una prova scritta (durata: 2 ore) che consiste nella risoluzione di problemi di algebra lineare e geometria analitica. La prova scritta si considera superata con la risoluzione corretta di almeno il 50% degli esercizi assegnati.

Durante la prova scritta non è consentito utilizzare testi, né materiale didattico, né strumenti informatici.

Con il superamento della prova scritta, lo studente è ammesso a sostenere dopo qualche giorno la prova orale, che verterà sul commento della prova scritta precedentemente sostenuta, e sulla verifica dell’acquisizione delle conoscenze e dei contenuti ritenuti basilari. Al termine della prova orale, lo studente consegue una votazione in trentesimi.

Per la partecipazione alle prove scritte e all’orale è necessario essere provvisti di un documento di riconoscimento in corso di validità, da esibire a richiesta.

Le tracce delle prove scritte d’esame e esercizi tematici, relativi a specifici argomenti trattati durante il corso, sono reperibili sul sito del Dipartimento
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057595
alla voce “Materiale Didattico” che conduce allo SharePoint dell’Ateneo

Numeri complessi, vettori numerici e matrici sul campo reale. (1 CFU=8 ore Lezioni/0,5 CFU=6 ore Esercitazioni) Operazioni interne ed esterne in un insieme. Operazioni di somma e prodotto sulle coppie ordinate di numeri reali. Forma algebrica di un numero complesso. Coniugato di un numero complesso e proprietà. Modulo ed argomento di un numero complesso. Forma geometrica e forma trigonometrica di un numero complesso. Prodotto di numeri complessi espressi in forma geometrica. La formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso. Le radici n-sime dell’unità. L’insieme R^n dei vettori numerici di lunghezza n sul campo R. Operazioni di somma tra vettori numerici e prodotto tra scalari e vettori numerici, e proprietà: lo spazio vettoriale numerico R^n. Combinazioni lineari di vettori numerici. Sistemi di vettori numerici linearmente dipendenti ed indipendenti. Prodotto scalare numerico in R^n e proprietà. Prodotto vettoriale in R^n.
L’insieme R^{m,n} delle matrici di tipo (m,n) a coefficienti reali. Matrice trasposta, matrici simmetriche ed antisimmetriche, matrici quadrate, matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni di somma tra matrici e prodotto di uno scalare per una matrice: lo spazio vettoriale R^{m,n}. Prodotto righe per colonne tra matrici e proprietà. Matrici quadrate invertibili: il gruppo lineare GL(n,R).
Determinante di una matrice quadrata e calcolo dei determinanti di matrici quadrate d’ordine 2 e 3. Proprietà elementari dei determinanti. Matrice complementare e complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata. Teorema di Laplace (con dimostrazione). Calcolo di determinanti con il metodo di Laplace. Teorema di Laplace generalizzato e teorema di Binet. Aggiunta di una matrice e proprietà. Calcolo dell’inversa di una matrice a determinante non nullo con il metodo dell’aggiunta.
Rango di una matrice. Sottomatrici di una matrice ed orlati di una sottomatrice. Teorema degli orlati (con dimostrazione). Calcolo del rango di una matrice con il metodo degli orlati. Legame tra rango, determinante ed invertibilità di una matrice quadrata.

Spazi vettoriali sul campo reale. (1 CFU=8 ore Lezioni/0,2 CFU=2 ore Esercitazioni) Definizione di spazio vettoriale su un campo e prime proprietà. Lo spazio vettoriale numerico R^n, lo spazio vettoriale R^{m,n} delle matrici di tipo (m,n) a coefficienti in R, gli spazi vettoriali L_2 ed L_3 dei vettori liberi, gli spazi vettoriali R[x] e R_n[x] dei polinomi nell’indeterminata x. Sottospazi vettoriali. Intersezione di sottospazi vettoriali, il sottospazio vettoriale generato da un sottoinsieme di vettori, il sottospazio vettoriale somma. Somma diretta di sottospazi vettoriali. Dipendenza ed indipendenza lineare di sistemi di vettori. Il teorema di Steinitz. Spazi vettoriali finitamente generati. Sistemi di generatori. Basi, riferimenti e dimensione di uno spazio vettoriale. Caratterizzazione delle basi e metodi di costruzione delle basi. Completamento di un sistema linearmente indipendente ad una base. Dimensione dei sottospazi vettoriali e Formula di Grassmann.

Sistemi di equazioni lineari. (1 CFU=8 ore Lezioni/0,3 CFU=4 ore Esercitazioni) Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari in n indeterminate a coefficienti reali. Compatibilità di un sistema lineare. Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare. Il teorema di Rouchè-Capelli. Il teorema di unicità. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare. Sistemi lineari omogenei: il sottospazio vettoriale numerico delle soluzioni, sua dimensione e determinazione di una base. Caratterizzazione dei sottospazi dello spazio vettoriale numerico R^n come insiemi delle soluzioni di sistemi lineari omogenei. Rappresentazione analitica in un fissato riferimento di un sottospazio di uno spazio vettoriale di dimensione finita.

Applicazioni lineari e diagonalizzazione di endomorfismi. (1 CFU=8 ore Lezioni/0,3 CFU=4 ore Esercitazioni) Definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Endomorfismi, monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi, automorfismi. L’isomorfismo coordinato di uno spazio vettoriale. Il Teorema del rango. Matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati in due fissati riferimenti. Equazioni di un’applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati. Equazioni del nucleo, dimensione dell’immagine e metodo per determinare una base dell’immagine. Diagonalizzazione di endomorfismi. Autovalori, autovettori e autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Il teorema spettrale (senza dimostrazione).

Elementi di geometria analitica. (1 CFU=8 ore Lezioni/0,4 CFU=6 ore Esercitazioni) Prodotto scalare geometrico in L_2 ed L_3 e questioni metriche sui vettori liberi. Teorema di Carnot, Teorema di Pitagora, Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e Disuguaglianza triangolare (con dimostrazioni). Definizioni di piano affine euclideo E^2 e di spazio affine euclideo E^3. I sottospazi affini: punti, rette e piani. Distanza, angoli, ortogonalità. Riferimenti cartesiani e coordinate. Rappresentazione analitica di rette in E^2 e di rette e piani in E^3: equazioni parametriche ed ordinarie. Condizioni analitiche di parallelismo ed ortogonalità. Rette sghembe in E^3 e condizioni di complanarità. Fasci di rette nel piano e fasci di piani in E^3. Proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio e distanza di un punto da un sottospazio. Retta per un punto esterno a due rette sghembe e complanare con entrambe. Retta per un punto perpendicolare a due rette non parallele.

Coniche nel piano. (1 CFU=8 ore Lezioni/0,3 CFU=4 ore Esercitazioni) Circonferenza, ellisse, iperbole e parabola come luoghi geometrici. Coniche degeneri: coppie di rette distinte o coincidenti, coniche ridotte ad un punto. Conica come luogo dei punti del piano le cui coordinate in un fissato riferimento verificano un’equazione di secondo grado non identica in due indeterminate. Matrice associata ad una conica in un fissato riferimento. Invarianza del rango della matrice associata al variare del riferimento. Caratterizzazione delle coniche non degeneri come coniche di rango 3. Classificazione affine delle coniche del piano mediante la ricerca degli autovalori della matrice complementare dell’elemento di posto (3,3) della matrice associata. Equazioni canoniche e ricerca dell’equazione canonica di una conica non degenere.

Italian

- Complex numbers
-Numerical vectors and matrices over a field
-Systems of linear equations
-Vector spaces
-Linear mappings
Diagonalizations
-Euclidean vector spaces and orthogonal diagonalization
-Elements of euclidean geometry in the plane and in the three-dimensional space

[A] T. M. Apostol, Calcolo – volume secondo, Geometria, Bollati Boringhieri
[CGG] M.R. Casali, C: Gagliardi, L. Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna
[Me1] N. Melone, Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare. Cuen ed.

Knowledge and understanding
The course aims to provide a good knowledge of the methods of the theory of matrices, of linear algebra and of analytical geometry in dimension 2 and in dimension 3. Furthermore, its objectives include the development of abstract mathematical language, the development of logical-deductive capabilities and learning of demonstration and calculation techniques.

Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the training the student must have acquired the fundamental concepts of linear algebra and analytical geometry; must be able to communicate the contents of the course clearly and rigorously; must be able to apply the acquired knowledge to the resolution of standard problems of linear algebra and analytical geometry; will be able to apply the knowledge learned to the resolution of exercises or problems that require a small reworking of the demonstration and calculation techniques already acquired.

In relation to communication skills, the course aims to develop the student's communication and argumentative skills, so that he/she can clearly and rigorously present the concepts and laws of classical geometry.

None

48 h of frontal lectures and 24 h of practical lessons

Attendance is not mandatory, but strongly suggested.

At the end of the course the student will have to pass a written test (duration: 2 hours) which consists in solving problems of linear algebra and analytical geometry. The written test is considered passed with the correct resolution of at least 50% of the assigned exercises.

During the written test it is not allowed to use texts, didactic material or IT tools.

By passing the written test, the student is admitted to take the oral test after a few days, which will focus on the comment of the previously written written test, and on the verification of the acquisition of knowledge and of the contents considered basic. At the end of the oral exam, the student achieves a mark out of thirty.

For participation in the written and oral exams you must have a valid identity document, to be shown upon request.

Written exam tests and thematic exercises, related to specific topics covered during the course, can be found on the Department's website
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=057595
under the heading "Materiale Didattico" which leads to the SharePoint of the University

Complex numbers, numerical vectors and matrices in the real field. (1 CFU = 8 hours Lessons / 0.5 CFU = 6 hours Exercises) Internal and external operations in a set. Addition and product operations on ordered pairs of real numbers. Algebraic form of a complex number. Conjugate of a complex number and properties. Modulus and argument of a complex number. Geometric form and trigonometric form of a complex number. Product of complex numbers expressed in geometric form. De Moivre's formula. N-th roots of a complex number. The n-th roots of unity
The set R^n of numerical vectors of length n in the field R. Addition operations between numerical vectors and product between scalars and numerical vectors, and properties: the numerical vector space Rn. Linear combinations of numerical vectors. Linearly dependent and independent systems of numerical vectors. Numerical scalar product in Rn and properties. Vector product in R^n.
The set R^{m,n} of matrices of type (m,n) with real coefficients. Transposed matrix, symmetric and antisymmetric matrices, square matrices, triangular matrices, diagonals and scalars. Addition operations between matrices and product of a scalar by a matrix: the vector space R^{m,n}. Row-by-column product between matrices and properties. Invertible square matrices: the linear group GL(n,R).
Determinant of a square matrix and calculation of the determinants of square matrices of order 2 and 3. Elementary properties of determinants. Complementary matrix and algebraic complement of an element of a square matrix. Laplace's theorem (with proof). Calculation of determinants with the Laplace method. Generalized Laplace's theorem and Binet's theorem. Addition of a matrix and properties. Calculation of the inverse of a matrix with non-zero determinant with the addition method.
Rank of a matrix. Submatrices of a matrix and edges of a submatrix. Edges theorem (with proof). Computing the rank of a matrix with the edges method. Relationship between rank, determinant and invertibility of a square matrix.

Vector spaces on the real field. (1 CFU=8 hours Lessons/0.2 CFU=2 hours Exercises) Definition of vector space on a field and first properties. The numerical vector space Rn, the vector space R^{m,n} of matrices of type (m,n) with coefficients in R, the vector spaces L_2 and L_3 of free vectors, the vector spaces R[x] and R_n[x] of polynomials in the indeterminate x. Vector subspaces. Intersection of vector subspaces, the vector subspace generated by a subset of vectors, the vector subspace sum. Direct sum of vector subspaces. Linear dependence and independence of systems of vectors. Steinitz's theorem. Finitely generated vector spaces. Systems of generators. Bases, references and dimension of a vector space. Characterization of bases and methods of construction of bases. Completion of a linearly independent system with a basis. Dimension of vector subspaces and Grassmann's formula.

Systems of linear equations. (1 CFU = 8 hours Lessons / 0.3 CFU = 4 hours Exercises) Definition of linear equation and system of linear equations in n indeterminates with real coefficients. Compatibility of a linear system. Gauss-Jordan algorithm for the resolution of a linear system. The Rouchè-Capelli theorem. The uniqueness theorem. Cramer systems and Cramer's method for the resolution of a linear system. Homogeneous linear systems: the numerical vector subspace of solutions, its dimension and determination of a basis. Characterization of the subspaces of the numerical vector space R^n as sets of solutions of homogeneous linear systems. Analytical representation in a fixed reference of a subspace of a finite-dimensional vector space.

Linear applications and diagonalization of endomorphisms. (1 CFU = 8 hours Lectures / 0.3 CFU = 4 hours Exercises) Definition of linear application between vector spaces. Kernel and image of a linear application. Endomorphisms, monomorphisms, epimorphisms, isomorphisms, automorphisms. The coordinate isomorphism of a vector space. The Rank Theorem. Matrix associated with a linear application between finitely generated vector spaces in two fixed references. Equations of a linear application between finitely generated vector spaces. Kernel equations, image dimension and method to determine a basis of the image. Diagonalization of endomorphisms. Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces. Algebraic multiplicity and geometric multiplicity of an eigenvalue. The spectral theorem (without proof).

Elements of analytical geometry. (1 CFU = 8 hours Lectures / 0.4 CFU = 6 hours Exercises) Geometric scalar product in L_2 and L_3 and metric questions on free vectors. Carnot's theorem, Pythagoras' theorem, Cauchy-Schwartz inequality and triangle inequality (with proofs). Definitions of affine Euclidean plane E^2 and affine Euclidean space E^3. Affine subspaces: points, lines and planes. Distance, angles, orthogonality. Cartesian references and coordinates. Analytical representation of lines in E^2 and of lines and planes in E^3: parametric and ordinary equations. Analytical conditions of parallelism and orthogonality. Skew lines in E^3 and conditions of coplanarity. Bundles of lines in the plane and bundles of planes in E^3. Orthogonal projection of a point on a subspace and distance of a point from a subspace. Line through a point external to two skew lines and coplanar with both. Line through a point perpendicular to two non-parallel lines.

Conics in the plane. (1 CFU = 8 hours Lessons / 0.3 CFU = 4 hours Exercises) Circumference, ellipse, hyperbola and parabola as geometric loci. Degenerate conics: pairs of distinct or coincident lines, conics reduced to a point. Conic as the locus of points in the plane whose coordinates in a fixed reference verify a non-identical second degree equation in two indeterminates. Matrix associated to a conic in a fixed reference. Invariance of the rank of the associated matrix when the reference changes. Characterization of non-degenerate conics as conics of rank 3. Affine classification of conics in the plane by searching for the eigenvalues of the complementary matrix of the place element (3,3) of the associated matrix. Canonical equations and search for the canonical equation of a non-degenerate conic.