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    Olga POLVERINO

    Insegnamento di GEOMETRIA COMBINATORIA

    Corso di laurea magistrale in MATEMATICA

    SSD: MAT/03

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Secondo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Richiami su campi e anelli di polinomi in una o più indeterminate. Campi Finiti.
    Polinomi e varietà algebriche su campi finiti. Sottopiani, archi e calotte d’ordine massimo. Disegni. Il teorema di Bruck-Ruyser-Chowla.
    Codici e codici lineari. Famiglie notevoli di codici lineari. Algoritmi di decodifica.

    Testi di riferimento

    1) Ionin Y. J. , Shrikhande M.S., Combinatorics of symmetric designs, Cambridge University Press (2006). 2) Lidl R. Niederreiter , Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 20, Cambridge University Press. 3) Mazzocca F. Note di Geometria Combinatoria. Cronografica Roma S.r.l. Roma, per il Gruppo Editoriale L’Espresso S.p.A., 2013. 4) Mazzocca F., Appunti del corso di Geometria Combinatoria , a.a. 2015/2016 5) Raimond Hill, A FIRST COURSE IN CODING THEORY, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Clarendon Press - Oxford, 1990.

    Obiettivi formativi

    Conoscenze e capacità di comprensione:
    L’insegnamento ha l’obiettivo di fornire una prima introduzione alla teoria dei campi finiti, alle varietà algebriche su campi finiti e allo studio di alcune strutture geometriche finite, con particolare riguardo alle loro proprietà algebriche e combinatorie caratteristiche e alle loro applicazioni.
    Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
    Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di avere familiarità con la teoria dei campi finiti e con alcune strutture geometriche finite quali sottopiani, archi, calotte disegni e codici lineari.

    Abilità comunicative:
    Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare in maniera rigorosa risultati di base nell’ambito della teoria dei polinomi su campi finiti, delle varietà algebriche su campi finiti e delle proprietà algebriche e combinatorie di alcune strutture geometriche finite.

    Prerequisiti

    Conoscenze di base di algebra e geometria.
    Elementi di teoria dei campi e dell’anello dei polinomi a coefficienti in un campo in una o più variabili. Nozioni fondamentali di geometria affine e proiettiva.

    Metodologie didattiche

    L’ insegnamento si articola in 64 ore (8 CFU) di didattica frontale.

    Metodi di valutazione

    La prova orale consiste in:
    -domande relative alla teoria presentata in aula;
    Il voto finale sarà espresso in trentesimi.
    Per partecipare alla prova è necessario esibire un documento di riconoscimento in corso di validità.

    Programma del corso

    Geometria Combinatoria (24 ore di lezioni frontali, per un totale di 3 CFU)
    Richiami e argomenti preliminari.
    Corpi e campi. Anello dei polinomi a coefficienti un campo in una variabile. Teoria dei campi: elementi algebrici, estensioni semplici, campo di spezzamento di un polinomio. Spazi proiettivi su campi.
    Campi finiti.
    Proprietà algebriche dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei sottocampi di un campo finito, teorema dell’elemento primitivo. Automorfismi di un campo finito. Gruppo dei q-automorfismi di GF(q^n). Spazi proiettivi su campi finiti.
    Polinomi e varietà algebriche su campi finiti
    Radici dell’unità e potenze. Quadrati e non quadrati di un campo finito di caratteristica dispari. Le funzioni traccia e norma. Risoluzione di un ‘equazione di 2° grado a coefficienti in GF(q). L’ anello dei polinomi in più variabili su un campo finito. Funzioni. Ideali di polinomi e varietà algebriche. Teorema di Chevalley-Warning e conseguenze.
    Sottopiani, archi e calotte di ordine massimo.
    Caratteri di un insieme di punti in un piano proiettivo finito. Sottopiani. Archi in PG(2, q). Ovali e iperovali. Ovali in PG(2, q), q dispari: lemma delle tangenti, teorema di Segre. Iperovali in PG(2, q) ed o-polnomi, q pari: teorema di Segre. Calotte e ovoidi in PG(3, q).
    -Disegni (16 ore di lezioni frontali, per un totale di 2CFU)
    Combinatoria degli Insiemi finiti: Diseguaglianza di Fisher. Disegni simmetrici e disegni di Ryser. Introduzione ai disegni: Strutture di incidenza. Grafi. Proprietà fondamentali dei (v, b, k, r,λ )-disegni. Disegni simmetrici. Il teorema di Bruck-Ryser-Chowla. Automorfismi di disegni simmetrici. Matrici di Hadamard. t-disegni.. Codici di Galay e disegni di Witt.
    - Codici (24 ore di lezioni frontali, per un totale di 3 CFU)
    Generalità sui codici e codici lineari. Distanza di Hamming e correzione di errori. Codici lineari associati a un disegno. Famiglie notevoli di codici lineari e risultati sui loro parametri: codici ciclici, codici BCH, codici di Reed-Solomon, codici constaciclici. Algoritmi di decodifica.

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    Teaching language

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